Hjemmelaget tok en tidlig ledelse da Giovani Lo Celso scoret etter en keeperbrøler av Tomas Mejias, og Erik Lamela doblet etter et kvarter.
Tottenham var lenge det klart beste laget på egen arena, men manager José Mourinho fikk noen nervøse minutter på benken etter at George Saville reduserte i det 83. minutt.
Liverpool ble historiske da Tottenham rotet bort store muligheter
Nedslående Kane-nyheter for Tottenham
– Vi hadde sjanser nok til å punktere kampen, men mot slutten måtte vi forsvare oss. Vi ga bort et billig mål og gjorde det vanskelig for oss selv, sa Spurs-forsvarer Japhet Tanganga til BBC.
Tottenham holdt unna og kan se fram til bortekamp mot Southampton i 4. runde.
Tjærnås hardt ut mot Manchester United-spillerne: «Feige», «ukomfortable» og «vettskremte»
Christian Eriksen spilte hele kampen, kanskje hans siste for Tottenham. Mye tyder på at han er på vei bort, og Mourinho antydet mandag at dansken neppe er med i helgens seriekamp mot Watford. Eriksen ga trøya si til en supporter etter kampslutt.
Newcastle-opptur
Newcastle er også videre etter å ha slått Rochdale 4-1. Et selvmål ga Premier League-laget ledelsen, og Matthew Longstaff, Miguel Almirón og Joelinton økte før gjestene fikk sitt trøste mål.
Aaron Pierre scoret rett før full tid og ga Shrewsbury 1-0-seier over Bristol City. Belønningen for laget fra nivå tre er hjemmekamp mot sesongens suverene lag Liverpool i 4. runde.
Coventry slo Bristol Rovers 3-0 og er klar for «hjemmekamp» mot Birmingham, som imidlertid vil bli spilt på Birminghams bane.
Reading var siste lag som tok seg videre tirsdag, med 2-0 borte mot Blackpool. Neste motstander blir Carlisle eller Cardiff, som møtes i omkamp onsdag.
Motstander i det blå
Da spiller også Ole Gunnar Solskjærs Manchester United omkamp mot Wolverhampton.
Motstander for vinneren er fortsatt i det blå, ettersom kampen mellom Tranmere og Watford ble utsatt tirsdag på grunn av overvann på banen. Kampen skal spilles torsdag 23. januar. Vinneren spiller hjemme i 4. runde bare tre dager senere.