En lekker gjennombruddspasning fra Gylfi Sigurdsson sendte Bernard gjennom mot Hugo Lloris.
Den brasilianske innbytteren hamret inn seiersmålet som sendte José Mourinhos menn på hodet ut av FA-cupen.
Tottenham dominerte store deler av kampen og hadde blant annet 15 hjørnespark.
Det aller første av de raget den colombianske midtstopperen Davinson Sánchez høyest på og sendte Spurs i føringen, men i løpet av syv minutter ble kampen snudd på hodet.
– Vi burde vunnet komfortabelt, sier Tottenham-manager José Mourinho etter kampen.
– Vi scoret fire, men vi burde scoret fem, seks, syv ...
– Men jeg tar med meg de positive tingene fra kampene. Spillerne ga absolutt alt, sier Mourinho.
Først hamret Dominic Calvert-Lewin inn utligningen, før han hælflikket ballen til Richarlison, som sendte Everton i ledelsen.
Deretter fikk Calvert-Lewin straffespark, som Gylfi Sigurdsson satte sikkert i mål.
Da så det ut til at Everton skulle gå i garderoben med en tomålsledelse, men på overtid reduserte Erik Lamela.
Drøyt ti minutter etter pause pirket Davinson Sánchez inn sitt andre mål for kvelden etter en retur på heading fra Toby Alderweireld.
Richarlison satte så inn 4–3, men Spurs-manager José Mourinho hadde byttet inn Harry Kane allerede åtte minutter inn i omgangen.
Grafikk: Sofascore.com
Tottenham-spissen tok ansvar syv minutter før slutt og stupte inn 4–4 etter flott forarbeid av Heung-min Son.
Dermed var det duket for ekstraomganger på Goodison Park. Der ble altså Bernards seiersmål det som sendte Everton videre.
Et skår i gleden for Everton var at Dominic Calvert-Lewin forlot banen med det som så ut til å være en skade i kampens 55. minutt.
PS! Joshua King har allerede spilt for Bournemouth i FA-cupen denne sesongen og var derfor ikke med i Everton-troppen.